Esta semana vamos a incursionar en el mundo de las matemáticas, que es uno de los pilares sobre los que se asienta la civilización. Para ello, iniciaremos una interesante serie sobre el tema que nos llevará por la historia de esta disciplina y sus múltiples aplicaciones a la vida humana, desde la noche de los tiempos hasta la fecha.
La historia de las matemáticas abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos realizados en el área de las matemáticas, el desarrollo de los métodos matemáticos, la evolución de sus conceptos principales y, en cierto grado, la historia de los grandes matemáticos involucrados en estos procesos.
Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
En este primer episodio, veremos el desarrollo de las matemáticas en la Antigüedad, cuando esta materia se inició como una mera herramienta de solución de problemas prácticos para luego convertirse en una disciplina conceptual, capaz de llevar al hombre a planteamientos metafísicos de la mayor profundidad.
La prehistoria.En África (cuna del ser humano), se han encontrado dibujos que datan de la prehistoria que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en la observación de las estrellas.
Los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.
Hay eviden-cias de que las mujeres inventa-ron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a.C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación (aunque esto no ha sido probado).Aunque datan técnicamente de un período más reciente, los monumentos megalíticos se inscriben en una época prehistórica de Europa occidental. Los monumentos que se encuentran en el norte de España, Francia, Inglaterra y Escocia, que corresponden al tercer milenio a.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño, los cuales tienen una clara vocación matemática.
Registros históricos y presentación sobre el tema.
Los textos matemáticos más antiguos disponibles son el documento conocido como Plimpton 322 (Babilonia, c. 1900 a. C.), el llamado papiro de Moscú (antiguo Egipto, c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (también de Egipto, c. 1650 a. C.), y el Shulba Sutras (India, c. 800 a. C.) Todos esos textos tratan sobre el famoso teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.
En nuestra sesión, iniciaremos el recorrido por Mesopotamia y Egipto, donde sus habitantes desarrollaron ingeniosos sistemas para resolver las dificultades que planteaba su vida cotidiana, como la medición de pesos, áreas y distancias. Con ello, pudieron enfrentar sus necesidades de desarrollo de infraestructura y así supieron crear obras de ingeniería de enorme importancia.
Igualmente, las matemáticas les fueron de gran utilidad a los antiguos para el desarrollo de un sistema numérico que sirvió de impulso a la vida civilizada, cuando se establecieron métodos contables, estructuras monetarias y reglas económicas para los cuales las matemáticas eran esenciales.
a. Las matemáticas en la antigua Mesopotamia.
Nuestro conocimiento sobre las matemáticas en los tiempos antiguos de Babilonia resulta del estudio de unas cuatrocientas tablillas de arcilla que fueron encontradas en la zona a mediados del siglo XIX. Como es característico, las tablillas fueron grabadas en escritura cuneiforme mientras la arcilla estaba aún húmeda y fueron cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol para su endurecimiento y conservación.
Sumeria, que fue la primera gran civilización mesopotámica, dejó amplias evidencias de un sistema matemático escrito, mediante el cual desarrolló un complejo sistema de medición que data de aproximadamente el año 3000 a.C. A partir del año 2600 a.C., los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y realizaron ejercicios geométricos y problemas de división.
Es de esta última época que datan las primeras muestras de los numerales babilónicos, cuando Babilonia emergía como centro cultural en la región. La mayoría de las tablillas de arcilla babilónicas que se han recuperado datan del período comprendido entre 1800 y 1600 a.C. y comprenden trabajos con fracciones, tablas de multiplicar, álgebra general, ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas y operaciones de cálculo (Plimpton 322). La tablilla babilónica YBC 7289, por ejemplo, da una aproximación de √2 con una exactitud de cinco posiciones decimales.
Las matemáticas babilónicas fueron escritas usando un sistema de numeración sexagesimal (base 60). De ahí se deriva la división de un minuto en 60 segundos y de una hora en 60 minutos, así como la de un círculo en 360 (60 × 6) grados y las subdivisiones sexagesimales de esta unidad de medida de ángulos en minutos y segundos. Los avances babilónicos en matemáticas fueron facilitados por el hecho de que el número 60 tiene muchos divisores. También, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de numeración posicional, donde los dígitos escritos a la izquierda representaban valores de orden superior, como en nuestro actual sistema decimal de numeración. Carecían, sin embargo, de un equivalente a la coma decimal y así, el verdadero valor de un símbolo debía deducirse del contexto.
El período de la antigua Babilonia (2000-1600 a.C.) es al que pertenecen la mayoría de las tablillas de arcilla con información de interés para las matemáticas. Algunas tablillas de arcilla, con énfasis en la aritmética, contienen listas y tablas, mientras que las otras contienen problemas y soluciones ya desarrollados.
La numerología seguía el mismo sistema cuneiforme que usaron en su escritura, con figuras que fácilmente demostraban la cantidad que intentaban describir, como sucede actualmente, por ejemplo, con las cartas de una baraja.
Al igual que con los cálculos aritméticos, los babilonios desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas. Para resolver una ecuación cuadrática, los babilonios usaban esencialmente la fórmula cuadrática. Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma
x2 + bx = c
cuya solución siempre es
En materia de porcentajes y crecimiento, los babilonios eran especialmente hábiles en modelar el crecimiento exponencial y tenían perfectamente claro cómo manejar el interés sobre préstamos, incluyendo el interés compuesto.
En cuanto a la geometría, los babilonios conocían las reglas usuales para medir volúmenes y áreas. Medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo de la raíz de la circunferencia, lo cual sería esencialmente correcto para una estimación de π a 3.Desde el redescubrimiento de la civilización babilónica, durante el siglo XIX, se ha puesto de manifiesto que los matemáticos y astrónomos griegos y helenísticos (especialmente Hiparco, 190-120 a.C.), tomaron mucho de los babilonios. En efecto, con las conquistas de Alejandro magno (356-323 a.C.), quien pasó de Grecia al Asia menor y de allí a Egipto, la Mesopotamia, Persia y la India, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y las egipcias para dar lugar a lo que se denomina “matemáticas helenísticas”. Con ello el foco cultural pasó de Babilonia a Grecia y de allí a Europa, con el desarrollo de Occidente (no fue sino hasta siglos más tarde, bajo el Islam, que la zona de la Mesopotamia –en especial Bagdad– volvería a adquirir importancia como centro de estudio para las matemáticas).
b. Las matemáticas en el Egipto antiguo.
La civilización egipcia abarca un período que comenzó al menos 4000 años a.C. y se encontraba desarrollada por lo menos 3000 años a.C., para mantenerse de manera más o menos estable, con diversos períodos de grandeza y decadencia, hasta pocos años antes de la era cristiana.
Ya en el periodo predinástico de Egipto, antes del cuarto milenio a.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. De algunos de ellos derivó luego el sistema de jeroglíficos que se utilizó en Egipto hasta la época ptolemaica, luego de la conquista de Alejandro Magno.
El desarrollo del sistema de escritura mediante jeroglíficos estaba plenamente establecido cuando las pirámides fueron construidas. Aparejado al desarrollo de su sistema de escritura, surgió un sistema matemático de gran sofisticación. La gran pirámide de Khufú fue construida hacia el año 2650 a.C., lo cual denota un desarrollo importantísimo de la ingeniería y, por definición, de las matemáticas.El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal, redondeando a menudo al número más alto, y escrito con jeroglíficos. Los siguientes jeroglíficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:
Los múltiplos de estos valores fueron expresados repitiendo el símbolo tantas veces como fuera necesario. Por ejemplo, una piedra tallada de Karnak muestra el número 4.622 de la siguiente manera:
Los jeroglíficos egipcios podían ser escritos dentro del texto. En este ejemplo, al igual que nosotros, se escribían de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
Además de este sistema de numeración, en la antigua lengua egipcia podían escribir los números con las palabras que los representaban, es decir, podían escribir "treinta" en lugar de "30", aunque esto no era frecuente para la mayoría de los números.
La palabra "treinta", por ejemplo, se escribía así:
La palabra "treinta", por ejemplo, se escribía así:
Mientras que el número "30" se escribía así:
Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en el llamado “ojo de Horus” (i.e., ojo izquierdo del dios, hijo de los dioses Isis y Osiris, que –según el mito– le fuera arrancado por su tío, el dios Seth). Cada fracción se representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo. Por ejemplo:
significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625) heqat de cebada.Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque, los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.
Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recolección de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,) entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.
La geometría del antiguo Egipto estaba muy desarrollada, si hacemos caso a los historiadores griegos Heródoto (484-425 a.C.), Estrabón (63-24 a.C.) y Diodoro (siglo I a.C.), quienes indican en sus respectivos escritos que los egipcios habían inventado la geometría y la habían enseñado a los griegos.
Por la naturaleza del país, cuyas inundaciones anuales les obligaba a medir periódicamente los límites de las parcelas cultivables, tuvieron que resolver desde muy antiguo problemas de geometría. Calculaban correctamente superficies de cuadriláteros, triángulos y tenían una buena aproximación al área del círculo.
Igual que la aritmética, era una ciencia eminentemente práctica que ofrecía soluciones concretas a diversos problemas. Los papiros de textos de matemática que han perdurado, destinados a la educación de los escribas, no dan justificación alguna de los métodos de cálculo empleados, limitándose a explicar las operaciones que hay que realizar.
Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto.
El papiro de Rhind, por su parte, contiene instrucciones en materia de aritmética y geometría, mediante fórmulas que permiten calcular áreas y métodos para llevar a cabo multiplicaciones, divisiones y trabajos con fracciones. 
También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y series geométricas.
Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.
Finalmente, otro documento más reciente, el papiro de Berlín (c. 1300 a.C.), demuestra la forma en que los antiguos egipcios resolvían las ecuaciones cuadráticas.No se cuenta con ejemplo alguno de cómo calculaban los egipcios el volumen de una pirámide, pero sí existen pruebas de que, en efecto, lo calculaban. Por ejemplo, hay un problema sobre el cálculo del ángulo de inclinación de una pendiente, un texto satírico que se refiere al cálculo del número exacto de ladrillos necesarios para construir una pirámide, y el hecho de calcular el volumen del tronco de pirámide. En el problema número 14 del papiro de Moscú se dice:
Esta serie de operaciones constituyen la fórmula exacta para averiguar el volumen del tronco de pirámide:
V = (h/3) (a² + ab + b²).
lo cual era un problema que requería solución debido a que los obeliscos y muchos otros elementos arquitectónicos del antiguo Egipto tenían esta forma, y convenía, por lo tanto, conocer su volumen para su extracción, transporte y utilización.
c. El desarrollo de las matemáticas como sistema filosófico: la antigua Grecia.
La matemáticas en Grecia se desarrollaron entre el siglo VI a.C. y el siglo IV d.C. Al igual que los filósofos, los matemáticos griegos vivían en ciudades-estado dispersas por el este del mar Mediterráneo; esto es, desde Italia hasta el Norte de África.
Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.
Durante ese período, gracias al espíritu especulativo y altamente desarrollado de los griegos, la matemática pasó de ser una disciplina utilitaria a funcionar como la base de un sistema filosófico e incluso pseudo-religioso, que partía del pensamiento lógico para definir principios generales, a partir de las propiedades y los patrones de los números.
Las matemáticas griegas eran más sofisticadas que las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores. Todos los registros que quedan de las matemáticas pre-helenísticas muestran el uso del razonamiento inductivo, esto es, repetidas observaciones usadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaban el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para deducir conclusiones, o teoremas, a partir de definiciones y axiomas.
Los primeros grandes matemáticos fueron Tales de Mileto y Pitágoras, quienes también eran filósofos. Se cree que se inspiraron originalmente en las matemáticas egipcias, mesopotámicas e indias.
Tales de Mileto.
A Tales de Mileto (c. 624-546 a.C.) se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los llamados Siete Sabios de Grecia (se le conoció como el “sabio astrónomo”), y habría tenido, según una tradición antigua no probada, como discípulo y protegido a Pitágoras.
Se atribuye a Tales el haber llevado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.
Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un circulo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.Se sabe que los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la división y parcelación de sus terrenos, especialmente por las implicaciones económicas que tenían para ellos el aprovechamiento de los desbordamientos anuales del Nilo. Tales habría encontrado –según parece– formas interesantes de aplicar esos conocimientos al pensamiento especulativo y, especialmente, a las líneas y a las curvas, lo que permitió dar a su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.
Así, por ejemplo, Tales utilizó la geometría como medio para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides (mediante método de comparación de sombras), así como la distancia de los barcos en el mar desde la orilla. Igualmente, se dice que fue el primero en dividir al año en estaciones y en 365 días.
Pitágoras de Samos.
El siguiente gran pensador griego dedicado a las matemáticas fue Pitágoras de Samos (c. 582-507 a.C.)
Pitágoras codificó no sólo las relaciones existentes entre los lados o catetos de los triángulos rectángulos (recuérdese el famoso teorema de Pitágoras), sino también las razones de los números enteros en los intervalos que hay entre las distintas notas musicales. La leyenda incluso cuenta que Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de los sacerdotes egipcios, lo que fomentó en él no sólo esta influencia sino, además, una veta mística que explicó en términos de la identificación de lo divino con lo numérico.
A su escuela de pensamiento se la conocía como “pitagórica”. En general, sus seguidores afirmaban que la estructura del universo era aritmética y geométrica, afirmación que la ciencia contemporánea ha comprobado fuera de toda duda. Los pitagóricos probaron, además, la existencia de los números irracionales.
La escuela pitagórica afirmaba que “todo es número”, razón por la cual se dedicó al estudio y clasificación de los números. Aunque rigurosamente esotérica, la escuela de Pitágoras estaba opuesta a toda forma de discriminación. Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. La única limitación existente era la de impartir conocimiento a los no iniciados.
El método pitagórico consistía en definir un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares. Del mismo modo, Pitágoras creía que era posible la purificación y perfección del alma mediante un método matemático. Enseñaba a conocer el mundo como armonía o equilibrio entre factores diversos. El universo era un cosmos; es decir, un conjunto ordenado y perfecto en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical, pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico y, si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.
Los pitagóricos atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras por lo que es difícil determinar con exactitud cuales resultados son obra del maestro y cuáles de sus discípulos.
Entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras están:
· Una prueba del teorema de Pitágoras.
Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
· Ternas pitagóricas.
Una terna pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c), de tal forma que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva. Sin embargo, la solución completa del problema no se obtuvo hasta el siglo XIII cuando Fibonacci encontró la forma de generar todas las ternas pitagóricas posibles.
· Sólidos regulares.
Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares, lo que Platón luego recogería en su diálogo Timeo.
· Números perfectos.
Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
· Números amigables.
Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico (250-325 a.C.) atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
· Números irracionales.
El descubrimiento por los pitagóricos de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento, por parte de ellos, de los números irracionales.
· Medias.
Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación
· Números figurados.
Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc. (ver figura).
Como se dijo, la voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral. Para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música el instrumento que, según ellos, servía por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo (algunos estudios científicos contemporáneos han encontrado razones para defender esta teoría).
La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con teorías traídas de Oriente por el filósofo, incluyendo la creencia en la transmigración de las almas. En este plano más místico, se dice que el mismo Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.
Platón y Aristóteles.
Sabemos que Platón (427-347 a.C.) se preparó para la vida filosófica con su gran maestro Sócrates (470-399 a.C.), pero se sabe que también estudió matemáticas con Arquitas de Tarento (435-360 a.C.) y con Teodoro de Cirene (465-398 a.C.), ambos pitagóricos.
Aunque no era propiamente un matemático, Platón siempre admiró el carácter abstracto de las matemáticas (asimilable a su teoría sobre las ideas). De allí que sea entendible que la Academia de Platón tuviera escrito sobre su pórtico la siguiente advertencia:Que no pase nadie que no sepa geometría.
Para Platón la única matemática que debía ser objeto de estudio era aquella que se propusiera
(…) elevar el conocimiento del alma hasta el conocimiento del bien, una ciencia de la cual ningún arte ni ningún conocimiento pueda prescindir.
Platón decía que las matemáticas eran la forma filosófica más pura e importante. Tenía las matemáticas en tan alta estima que exigía que sus alumnos las estudiaran durante al menos diez años, además del tiempo que, por aparte, dedicaran a la filosofía. Para él, los objetos matemáticos no se derivan de los sentidos, sino que son ideales; por lo tanto, las verdades matemáticas, deducidas de las definiciones de los objetos ideales, son independientes de la naturaleza y son verdades absolutas, eternas e inmutables.
Platón destacó el carácter abstracto de la investigación matemática, con lo que subrayó la necesidad de utilizar el método axiomático. Con ello, elevó esta disciplina al paradigma del saber riguroso.
Influenciado por la escuela de Pitágoras, afirmaba que los números gobernaban en última instancia al mundo. En su diálogo Timeo, Platón propuso la existencia de cinco formas sólidas básicas, que representan la composición y armonía de las cosas.
Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
En el Timeo, Platón intenta relacionar esos sólidos con los cuatro elementos básicos: tierra, aire, agua y fuego. Dice que la tierra está formada por átomos agrupados en forma de hexaedros; el fuego, por átomos en forma de tetraedros; el aire, por octaedros; y, el agua por icosaedros. El universo, en su totalidad, estaría figurado en el dodecaedro.
Aristóteles (384-322 a.C.), el alumno más aventajado de Platón, aunque distante de éste en su concepción idealista, fue el primero en poner por escrito las leyes de la lógica, fundamentales en las matemáticas y motor de todo el desarrollo occidental.
En su pensamiento, consideró las matemáticas como una división de la filosofía, coordinada con la física y la metafísica, y la definió como la ciencia del ente inmóvil. Esto viene a significar que se centra en el ente cuantitativo (ente abstracto), y no limita su atención, como la física, al ente dotado de movimiento.
Euclides.
Euclides (325-265 a.C.) es conocido como el “padre de la geometría”. Como pensador, dio el ejemplo más temprano de lo que es la metodología matemática que se usa hoy en día, con definiciones, axiomas, teoremas y demostraciones.
Su libro Elementos fue conocido por todo el mundo occidental y fue un texto dominante en los estudios de las matemáticas hasta la primera mitad del siglo XX. El libro incluye un útil catálogo de fórmulas para determinar los volúmenes de los sólidos geométricos, así como sistemas de comprobación matemática.Además de los teoremas familiares en la geometría, tales como el famoso teorema de Pitágoras, los Elementos contiene una demostración de que la raíz cuadrada de dos es un número irracional y otra sobre la infinitud de los números primos.
(…) “Elementos”, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
· En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del universo, según la cual la tierra es el centro del universo, y los planetas, la luna y el sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias.
Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro “Elementos”. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.
Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro “Elementos”. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.Algunos autores crearon siglos más tarde sistemas geométricos nuevos, basados en la invalidación o sustitución del axioma de las paralelas, dando origen a las llamadas "geometrías no euclidianas". En dichas geometrías, la característica principal es que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.
Otros pensadores. Arquímedes.
El sofista Antifonte (c. 430 a.C.) trató de determinar el área del círculo inscribiendo en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se colmara. Este método, conocido como “exhausción” (agotamiento), es uno de los antecedentes de la actual integración matemática.
Eudoxio (408 al 355 a.C.), otro filósofo griego, también trabajó en el método de exhausción, pero el ejemplo más famoso del método de exhausción es el del cálculo de la longitud de una circunferencia efectuado por Arquímedes de Siracusa (c. 287-212 a.C.) Él utilizó dos métodos a un tiempo: (i) el método de exhausción, inscribiendo polígonos regulares dentro de una circunferencia de radio unitario, como medio para calcular el área bajo un arco de parábola con ayuda de la suma de una serie infinita; y, (ii) el método de compresión, circunscribiendo polígonos por fuera a la circunferencia. De este modo, al aumentar el número de lados de los polígonos, las figuras tenderán a acercarse a la forma de la circunferencia, al punto de que Arquímedes pudo obtener una medida notablemente precisa de pi (π).
Dicho en otras palabras,
[Arquíme-des] dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscri-to a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 310/71 (aproximadamente 3,1408) y 31/7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π.
También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo.
Arquímedes fue un genio para idear aplicaciones prácticas para las matemáticas y uno de los científicos más importantes de la antigüedad clásica. Se puede decir que fue el primer gran físico-matemático. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.
También estudió la espiral, dándole su nombre, fórmulas para el volumen para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para la expresión de los números muy grandes.
A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Fue citado por la escuela de matemáticos de Alejandría, que incluyó a Ptolomeo (100-170 d.C.), pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta principios del siglo VI de nuestra era por Isidoro de Mileto (responsable de la iglesia de Santa Sofía o Hagia Sophia, en Bizancio).
Los comentarios de las obras de Arquímedes escritas por Eutocio (c. 480-c. 540) en el siglo VI difundieron este aspecto del pensamiento de Arquímedes un poco más. Con ello, se logró preservar su obra durante la Edad Media, para que fueran una importante fuente de ideas durante el Renacimiento. No fue sino hasta 1906, sin embargo, con el descubrimiento de ciertos trabajos desconocidos de Arquímedes incluidos en el llamado Palimpsesto de Arquímedes que ha sido posible comprender cómo fue que Arquímedes llegó a algunas de sus conclusiones matemáticas.
En su obra sobre la Medición del Círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780 (aproximadamente 1,7320512). Ahora sabemos que el valor real se ubica aproximadamente en 1,7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin dar mayor explicación respecto al método había utilizado para obtenerlo, lo que generó toda clase de interrogantes a los estudiosos.En su obra sobre La cuadratura de la Parábola, Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a 4/3 el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como se puede observar en la figura de la derecha. Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de 1/4:
El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie infinita 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ..., cuya suma se demuestra que equivale a 1/3.
En otra de sus obras Arquímedes se enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos de arena que podía contener el universo. Para hacerlo, desafió la idea de que el número de granos fuera tan grande como para poder ser contados, con lo cual defendió la idea de la infinitud como un concepto común tanto a los números como al universo mismo.
En uno de sus escritos, el orador, filósofo y político romano, Marco Tulio Cicerón (106-43 a.C.), describió la tumba de Arquímedes, que habría visitado, e indica allí que sobre ella se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro.[ ]La historia contaba que Arquímedes había probado, más de un siglo antes, que el volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro, incluyendo sus bases, lo cual consideró el más grande de sus descubrimientos matemáticos. En el año 75 a.C., 137 años después de su muerte, Cicerón actuaba como cuestor en Sicilia y escuchó historias acerca de la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontraba exactamente. Finalmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Cicerón mandó limpiar la tumba, y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían escrito en ella.
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Las matemáticas son una materia fundamental de la cultura, sin la cual ésta no podría ser entendida en absoluto. Con esta presentación, pretendemos abarca, de una manera amena, un campo que justifica la condición especial del ser humano en el universo, como criatura inteligente, lo que le ha permitido manifestarse de forma diferenciada sobre lo que ocurre a su alrededor.
Esperamos que puedan acompañarnos en el inicio de esta serie. Luego avanzaremos en la historia de las matemáticas conforme nos sea posible, no sólo para conocer mejor lo que debemos a aquellos creadores, descubridores y buscadores de verdades que nos antecedieron, sino también para ubicarnos de manera más completa en el contexto del mundo que vivimos.
Están invitados.
Saludos,
Carlos.
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